Υπήρξε μία από τις σπουδαιότερες προσωπικότητες του ελληνικού θεάτρου και διακρίθηκε σε έργα Αριστοφάνη, αρχαίας τραγωδίας και Σέξπιρ, στα οποία άφησε έντονο το καλλιτεχνικό του στίγμα.
Ο Αλέξανδρος Σολομός γεννήθηκε στην Αθήνα στις 9 Αυγούστου 1918 από γονείς κεφαλλονίτικης καταγωγής. Φοίτησε στο Κολέγιο Αθηνών, με καθηγητή τον Κάρολο Κουν. Στη συνέχεια παρακολούθησε μαθήματα στη Νομική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών, σπούδασε στη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου (1939-1942) και κατόπιν με υποτροφία στη Βασιλική Ακαδημία Δραματικών Τεχνών του Λονδίνου (1945-46), στο Πανεπιστήμιο Γέιλ και στο Δραματικό Εργαστήρι του γερμανού σκηνοθέτη Έρβιν Πισκάτορ (1946-48) στη Νέα Υόρκη.
Κατά τη διάρκεια των σπουδών του δούλεψε ως ενδυματολόγος στο θέατρο Κοτοπούλη (1937) και δύο χρόνια αργότερα, το 1939, εμφανίστηκε για πρώτη φορά ως σκηνοθέτης με το έργο του Τσέχωφ Αρκούδα. Στην Κατοχή εργάστηκε ως ηθοποιός, ενδυματολόγος, μεταφραστής και κριτικός κινηματογράφου και συνεργάστηκε με τα θέατρα Αθηνών του Κωστή Μπαστιά (1942-43) και Τέχνης του Κάρολου Κουν, ο οποίος ανέβασε το έργο του Ο τελευταίος ασπροκόρακας το 1944.
Ο Αλέξης Σολομός ξεκίνησε τη σκηνοθετική του σταδιοδρομία στη Νέα Υόρκη το 1947 και το 1949 ανέβασε στο Λονδίνο τον Καλιγούλα του Αλμπέρ Καμί. Το 1949 επέστρεψε στην Ελλάδα, όπου η πρώτη παράσταση που σκηνοθέτησε ήταν η Κληρονόμος του Γκετς στο Θέατρο Μουσούρη. Τον επόμενο χρόνο ξεκίνησε τη μακροχρόνια συνεργασία του (1950-1964, 1968-1985 και 1992) για το οποίο σκηνοθέτησε πάνω από 100 έργα, ενώ άλλα 65 έργα σκηνοθέτησε σε διάφορους αθηναϊκούς θιάσους, στο Κρατικό Θέατρο Βορείου Ελλάδος και τη Λυρική Σκηνή. Το 1964 ίδρυσε το δικό του θεατρικό οργανισμό, με την επωνυμία Προσκήνιο, ο οποίος λειτούργησε με διαλείμματα έως 1978. Το 1992 αποσύρθηκε οριστικά από το θέατρο, σκηνοθετώντας για το Εθνικό Θέατρο δύο έργα, την Αντιγόνη του Σοφοκλή και τους Εγκληματίες του αυστριακού συγγραφέα Φέρντιναντ Μπρούκνερ.
Ο Αλέξης Σολωμός χρημάτισε αναπληρωτής γενικός διευθυντής του ΕΙΡΤ (1974-1975) και δυο φορές διευθυντής του Εθνικού Θεάτρου (1980-1983). Για την προσφορά του στο θέατρο τιμήθηκε με τον Ταξιάρχη του Φοίνικα, ενώ αναγορεύθηκε επίτιμος διδάκτωρ του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Ο Αλέξης Σολομός διακρίθηκε στο ανέβασμα έργων του Αριστοφάνη. Στις παραστάσεις του χρησιμοποίησε στοιχεία από την ελληνική λαογραφία, στο «μέτρο που τα δεχόταν ο οργανισμός του Αριστοφάνη», όπως τόνιζε ο ίδιος. Έτσι, αυτός και άλλοι σκηνοθέτες που ασχολήθηκαν με τα έργου του κατάφεραν να τον απομακρύνουν από τη φήμη και τους χαρακτηρισμούς του ξεπερασμένου, του βωμολόχου ή του αντιεμπορικού. Το συγγραφικό του έργο περιλαμβάνει έξι θεατρικά έργα, μεταφράσεις θεατρικών έργων, θεατρικά δοκίμια, αυτοβιογραφικά έργα και άλλα βιβλία με άξονα το θέατρο.
Ο Αλέξης Σολομός απεβίωσε στις 25 Σεπτεμβρίου 2012 στο σπίτι του στο Κολωνάκι, σε ηλικία 94 ετών. Έφυγε ήσυχα, έχοντας κοντά του τις δύο κόρες και τα τρία του εγγόνια.